Matemàtiques Generals
1r · matèria obligatòria de la modalitat General
Capítol 1
Anàlisi
9 unitats
-
Començar
Llegir nombres en documents quotidians
La unitat ensenya a interpretar xifres amb les seves unitats, períodes i bases; a comparar totals, taxes i percentatges; i a distingir conclusions justificades d’afirmacions sense dades suficients. Les estimacions i les eines digitals permeten comprovar els càlculs, sempre que també se’n revisin les fórmules i el significat.
-
Començar
Taxes, divises, interessos i comissions
La unitat relaciona tants per u, percentatges i tants per mil, i diferencia els canvis absoluts dels relatius. També desenvolupa models de canvi de divisa, interès i comissions per comparar costos totals i prendre decisions justificades.
-
Començar
Funcions per representar una situació
Les funcions relacionen magnituds mitjançant una regla unívoca i un domini contextual. Taules, gràfics, expressions i descripcions es complementen per interpretar variació, punts i límits d’un model.
-
Començar
Models lineals i quadràtics
Els models lineals tenen taxa de variació constant, mentre que els quadràtics tenen segones diferències constants i una taxa que canvia. Per comparar previsions cal estudiar interseccions, signes i diferències; les eines digitals ajuden a investigar paràmetres si l’experiment és controlat i es justifica algebraicament.
-
Començar
Models racionals, exponencials i logarítmics
La unitat distingeix proporcionalitat inversa, models exponencials i relacions logarítmiques a partir dels seus patrons. També mostra com explorar dominis, transformar dades, invertir fórmules i justificar amb eines digitals l’elecció i les limitacions d’un model.
-
Començar
Canvis de regla i fenòmens periòdics
Les funcions a trossos descriuen canvis de regla mitjançant intervals i fronteres precises. Els models periòdics descriuen repeticions amb període, amplitud i línia mitjana; les dades, els residus i les eines digitals permeten comprovar-los i comunicar-ne els límits.
-
Començar
Equacions i restriccions amb suport digital
La unitat transforma condicions verbals en equacions, sistemes i inequacions, i en resol els conjunts de solucions amb mètodes algebraics, gràfics i digitals. La comprovació del domini i de les restriccions permet formular conclusions contextuals, com ara decidir entre dues tarifes.
-
Començar
Del canvi mitjà al canvi instantani
La unitat parteix de la variació absoluta i construeix la taxa mitjana com a canvi per unitat. En reduir els intervals apareix la derivada, interpretada com a taxa instantània i pendent tangent, amb especial atenció a les unitats, l’existència i l’ús contextual.
-
Començar
Algorismes i eines per resoldre problemes
La unitat desenvolupa un cicle complet de resolució: descompondre i modelitzar, construir un algorisme, implementar-lo, provar-lo i interpretar-ne la sortida. El càlcul manual en casos petits proporciona una comprovació independent i ajuda a localitzar errors.
Capítol 2
Geometria
4 unitats
-
Començar
Grafs per representar xarxes
Els grafs representen objectes mitjançant vèrtexs i relacions mitjançant arestes o arcs. El dibuix, la llista i la matriu descriuen adjacències; direcció, pesos, arbres i planaritat permeten adaptar el model, sempre fent explícites les omissions.
-
Començar
Camins i circuits eulerians i hamiltonians
Una ruta euleriana controla les arestes i es decideix mitjançant connexió i paritat dels graus. Una ruta hamiltoniana controla els vèrtexs i s’investiga amb condicions necessàries, construcció i cerca; en tots dos models, cal verificar explícitament la ruta o justificar-ne la impossibilitat.
-
Començar
Trobar un camí mínim
Una xarxa ponderada modelitza connexions mitjançant pesos coherents i additius. Els camins petits es poden comparar per enumeració, mentre que Dijkstra resol sistemàticament xarxes amb pesos no negatius; el resultat sempre s’ha d’interpretar segons el criteri, les unitats i els supòsits del model.
-
Començar
Coloració de grafs i compatibilitats
Els grafs d’incompatibilitats converteixen restriccions per parelles en arestes, i les coloracions agrupen en una mateixa classe els vèrtexs compatibles. Per justificar un mínim, combinem una coloració amb pocs colors amb una cota inferior, com una clique o un cicle senar, i interpretem el resultat en el context.
Capítol 3
Probabilitat i estadística
8 unitats
-
Començar
Comptar conjunts sense repeticions
La unitat defineix els conjunts finits i el seu cardinal, i desenvolupa els principis de suma i producte. També distingeix ordre i repetició i ofereix procediments per incorporar restriccions, evitar dobles recomptes i justificar que els casos són exhaustius.
-
Començar
Probabilitat com a mesura d’incertesa
La unitat defineix experiments aleatoris, espais mostrals i esdeveniments, i presenta la probabilitat com una mesura entre 0 i 1. Relaciona models teòrics, recomptes equiprobables i freqüències relatives, i culmina amb la comparació raonada entre estimacions experimentals i models, atenent la incertesa i el risc.
-
Començar
Experiments compostos i probabilitat total
Els arbres i les taules permeten representar experiments compostos i calcular probabilitats condicionades. La independència es comprova observant si la condició modifica una probabilitat, i la probabilitat total combina grups d’una partició mitjançant una mitjana ponderada.
-
Començar
Dades bidimensionals i lectures condicionades
Les dades bidimensionals s'organitzen en taules de contingència amb freqüències conjuntes i marginals. Els percentatges condicionats canvien el denominador, permeten comparar perfils i detectar dependència, però una associació no prova causalitat; qualsevol resum digital s'ha de validar i interpretar segons el seu referent.
-
Començar
Correlació i regressió per fer prediccions
La unitat presenta la regressió com una decisió argumentada: observar el núvol, comparar ajustos i analitzar residus. La correlació i les prediccions només són útils quan se n’expliciten el significat, el domini i els límits.
-
Començar
Modelitzar recomptes amb la binomial
La distribució binomial modelitza el nombre d’èxits en n assajos independents amb probabilitat constant p. Una solució completa defineix la variable, justifica el model, tradueix l’esdeveniment, calcula la probabilitat amb precisió i interpreta el resultat sota les hipòtesis adoptades.
-
Començar
Model normal i probabilitats d’intervals
La distribució normal descriu variables contínues mitjançant un centre μ i una dispersió σ. L’estandardització permet calcular probabilitats i quantils amb eines, mentre que la forma de les dades i el context determinen si el model és raonable.
-
Començar
Una mostra que permeti respondre la pregunta
La unitat recorre tot el cicle d’un estudi: formular una pregunta, definir població i variables, seleccionar una mostra, prevenir biaixos, recollir i representar dades i comunicar conclusions. La representativitat s’ha de justificar a partir del procés, i tota limitació important ha d’anar acompanyada d’una millora possible.
Capítol 4
Sabers socioemocionals
1 unitat