Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials II
2n · opció d’Humanitats i ciències socials i de Ciències i tecnologia
Capítol 1
Anàlisi
11 unitats
-
Començar
Matrius per representar processos
Les matrius organitzen dades mitjançant files i columnes etiquetades. La suma combina estructures equivalents, mentre que el producte matricial encadena relacions compatibles i permet modelitzar processos de producció. La validesa d’un resultat depèn tant del càlcul com de l’ordre, les dimensions, les unitats i la interpretació.
-
Començar
Sistemes lineals i resolució matricial
La unitat desenvolupa la traducció de condicions a sistemes, la resolució per eliminació i Gauss, i la classificació segons el nombre de solucions. També presenta la resolució amb la inversa, la verificació contextual i la comparació crítica de models compatibles o incompatibles.
-
Començar
Inequacions i regions de decisions possibles
Les restriccions contextuals es tradueixen en inequacions lineals, cadascuna de les quals determina un semiplà. La seva intersecció forma la regió admissible, i cada opció es valida algebraicament i s’interpreta segons la frontera, els marges, les unitats i el domini.
-
Començar
Optimització lineal amb recursos limitats
La programació lineal converteix una distribució de recursos en variables, un objectiu i restriccions. Els vèrtexs permeten comparar candidats quan correspon, mentre que l’anàlisi de factibilitat, acotació i multiplicitat determina quin tipus de conclusió es pot justificar.
-
Començar
Límits i models funcionals
Els límits descriuen tendències prop de punts o a l’infinit i es poden estudiar mitjançant representacions i tècniques diverses. En modelització, el resultat només és defensable si s’interpreta amb unitats, domini, supòsits i límits de l’extrapolació.
-
Començar
Continuïtat i derivabilitat a les fronteres
En una frontera, la continuïtat iguala els límits laterals i el valor de la funció; la derivabilitat exigeix, a més, derivades laterals iguals. Aquestes condicions es transformen en equacions que permeten ajustar paràmetres i interpretar si el model evita salts i canvis bruscos de pendent.
-
Començar
Derivades i estudi del comportament
La derivada és una taxa instantània i el pendent de la tangent. Les regles de derivació, inclosa la regla de la cadena, permeten obtenir f'; els signes de f' i f'' justifiquen creixement, extrems, curvatura i inflexions dins del domini del model.
-
Començar
Optimitzar costos, ingressos i altres models
La unitat desenvolupa el procés complet d’optimització: formular variables, objectiu i domini; comparar punts crítics i fronteres; interpretar models econòmics; i valorar escenaris i supòsits. Una decisió queda justificada quan és admissible, està ben calculada, conserva les unitats i explicita els límits del model.
-
Començar
Primitives i recuperació d’una magnitud
Una primitiva de f és una funció F tal que F'=f, i totes les primitives formen F+C. Les regles elementals permeten calcular-les; una condició inicial determina C i fa possible recuperar i verificar una magnitud a partir del seu ritme de canvi.
-
Començar
Integral definida i àrees entre gràfics
La integral definida mesura una acumulació amb signe i es calcula amb el teorema fonamental. Les àrees geomètriques exigeixen separar els canvis de signe o d’ordre, justificar les fronteres i interpretar el resultat amb les unitats adequades.
-
Començar
Models i algorismes per contrastar decisions
La unitat desenvolupa un cicle complet de decisió quantitativa: descompondre la situació, formular el model, implementar dues estratègies, provar-les i revisar-ne la precisió. El producte final és una conclusió reproduïble, sustentada per una bateria de proves i un registre raonat d’errors corregits.
Capítol 2
Probabilitat i estadística
9 unitats
-
Començar
Experiments compostos i probabilitat condicionada
La unitat distingeix tres interpretacions de la probabilitat i desenvolupa el càlcul d’experiments compostos amb arbres i taules. La dependència es justifica comparant probabilitats condicionades i marginals, sempre explicitant el model i la informació disponible.
-
Començar
Bayes: revisar una probabilitat amb informació nova
La probabilitat total combina taxes condicionades ponderades per les proporcions inicials, i Bayes utilitza aquest total per invertir el condicionament. Els arbres i les freqüències naturals fan visibles els camins; l’avaluació d’un classificador exigeix distingir mesures i incorporar conseqüències abans de decidir.
-
Començar
Binomial i normal: escollir i comprovar el model
La unitat distingeix variables discretes i contínues, consolida els càlculs binomials i normals i explica quan una binomial es pot aproximar per una normal. La qualitat de la conclusió depèn de comprovar els supòsits, aplicar la correcció de continuïtat i valorar la discrepància segons l’ús del resultat.
-
Començar
Representativitat, selecció i biaixos
La representativitat depèn de la correspondència entre població, marc, selecció, participació i mesura. Una auditoria rigorosa distingeix biaix i variabilitat, limita les conclusions a l’evidència disponible i proposa millores vinculades a cada problema.
-
Començar
Estimar mitjana, proporció i desviació típica
Els estadístics x̄, p̂ i s es calculen amb una mostra i estimen els paràmetres μ, p i σ de la població. Una conclusió rigorosa explica la convenció de variància, incorpora unitats i reconeix tant la variabilitat mostral com els possibles límits de representativitat.
-
Començar
Distribucions de la mitjana i la proporció mostrals
Una distribució mostral descriu la variació d’un estadístic entre mostres, no la variació de les dades individuals. Per a la mitjana i la proporció, augmentar n redueix l’error estàndard segons 1/√n; la simulació permet observar aquest patró i valorar quan la forma normal és adequada.
-
Començar
Intervals de confiança per a una mitjana
Els intervals per a una mitjana combinen una estimació central i un marge d’error, sota condicions de mostreig i model explícites. La confiança és cobertura en repeticions, mentre que la precisió depèn del nivell escollit, la dispersió i l’arrel quadrada de la mida mostral.
-
Començar
Intervals per a una proporció i mida de mostra
La unitat construeix intervals normals per a una proporció, n’interpreta la confiança i comprova quan l’aproximació és adequada. També permet planificar la mida mostral i comunicar amb rigor què cobreix el marge d’error i què queda fora de la seva garantia.
-
Començar
Estudi estadístic amb estimació i revisió
La unitat recorre tot el cicle d’un estudi estadístic: pregunta, mostreig, estimació, revisió de representativitat, sensibilitat i comunicació. El producte final és un informe reproduïble que justifica els procediments i transforma l’evidència en una recomanació prudent.
Capítol 3
Sabers socioemocionals
1 unitat