Matemàtiques
Capítol 1
Sentit numèric
4 unitats
-
Començar
Racionals i nombres que no ho són
Els nombres racionals són exactament els que tenen una expressió decimal exacta o periòdica, i els periòdics es poden recuperar amb una fracció generatriu. Els irracionals tenen decimals infinits no periòdics; en representar-los o calcular-hi, cal distingir el valor exacte de l’aproximació i indicar la precisió. La recta, les desigualtats, els intervals i les semirectes connecten aquestes representacions.
-
Començar
Molt gran, molt petit: notació científica
La notació científica representa nombres extrems amb un coeficient entre 1 i 10 i una potència de deu. Permet comparar escales, operar amb potències, comunicar precisió i detectar errors mitjançant estimacions, unitats i ordres de magnitud.
-
Començar
Proporcionalitat directa, inversa o cap de les dues
La unitat distingeix proporcionalitat directa, inversa i absència de proporcionalitat mitjançant quocients, productes i context. També aplica el model invers a problemes, repartiments i trajectes, tot comprovant unitats, resultats i supòsits.
-
Començar
Percentatges que poden enganyar
La unitat interpreta percentatges extrems mitjançant factors i bases de comparació. També ensenya a combinar i invertir canvis successius i a examinar críticament afirmacions comercials amb canvis relatius i diferències absolutes.
Capítol 2
Sentit algebraic
9 unitats
-
Començar
Successions: creixement, regles i Fibonacci
La unitat distingeix les regles explícites de les recurrents i compara el creixement additiu, multiplicatiu i dependent de termes anteriors. Els nombres figurats connecten geometria i àlgebra, mentre que els quocients de Fibonacci permeten formular i contrastar la convergència cap a la proporció àuria.
-
Començar
Expressions i identitats amb models d’àrea
La unitat relaciona operacions polinòmiques, propietat distributiva i models d’àrea. Les identitats notables s’obtenen comptant totes les peces o tots els productes, mentre que la distinció entre identitat i equació depèn dels valors per als quals la igualtat és certa.
-
Començar
Factoritzar per veure l’estructura
La unitat connecta la propietat distributiva, els patrons senzills i els models d’àrea per passar entre formes desenvolupades i factoritzades. La forma factoritzada es verifica desenvolupant i permet aplicar el producte nul per identificar zeros.
-
Començar
Equacions de segon grau: resoldre i interpretar
Una equació quadràtica s’escriu com ax² + bx + c = 0 i es resol segons la seva estructura: aïllant el quadrat, factoritzant o aplicant la fórmula general. En els problemes cal definir la incògnita, construir el model, comprovar les arrels i justificar quines són compatibles amb el context.
-
Començar
Dues condicions, dues incògnites
Un sistema lineal busca una parella que satisfaci dues equacions alhora. Es pot resoldre per substitució, comparació o reducció, i les solucions corresponen als punts comuns de dues rectes. En problemes de compra, cal definir, modelitzar, comprovar i interpretar.
-
Començar
Llegim el comportament d’una funció
Un gràfic permet llegir les entrades admeses, les sortides assolides i l’evolució d’una funció per intervals. Els zeros connecten el gràfic amb les equacions, mentre que el context i la finestra representada determinen fins on són vàlides les conclusions.
-
Començar
La funció de proporcionalitat inversa
La proporcionalitat inversa s’expressa com y = k/x i conserva el producte x·y. El seu gràfic és una hipèrbola de dues branques, exclou x = 0 i s’ha d’interpretar d’acord amb les restriccions del context.
-
Començar
Paràboles: forma, vèrtex i punts de tall
Les funcions quadràtiques es representen amb paràboles caracteritzades per l’orientació, l’obertura, l’eix, el vèrtex i els punts de tall. Les formes general i de vèrtex permeten connectar gràfics i càlculs, mentre que l’estudi controlat dels coeficients ajuda a formular i justificar conjectures.
-
Començar
Quin model explica millor les dades?
Un model és una representació simplificada que relaciona variables sota uns supòsits i dins d’un domini. L’elecció raonada combina forma matemàtica, ajust a les dades, resolució d’equacions o sistemes, validació dels residus i una defensa explícita de l’interval d’ús.
Capítol 3
Sentit de la mesura
4 unitats
-
Començar
L’escala canvia longituds, àrees i volums
En figures i cossos semblants, les longituds canvien amb k, les àrees amb k² i els volums amb k³. Les equivalències entre unitats cúbiques i litres permeten convertir la capacitat i justificar comparacions realistes de maquetes.
-
Començar
Mesura indirecta: del pati a grans distàncies
La mesura indirecta converteix dades accessibles en longituds inaccessibles mitjançant triangles semblants, escales i triangulació. La qualitat del resultat depèn de la correspondència geomètrica, les unitats, la precisió de les dades i els supòsits del model, com mostra l’estimació del radi terrestre.
-
Començar
Piràmides: desenvolupar, mesurar i comparar
La base determina el tipus de piràmide i el nombre de cares laterals. El desenvolupament conserva cares i arestes; la superfície lateral usa l'apotema lateral, mentre que el volum usa l'altura perpendicular i és un terç del prisma corresponent.
-
Començar
Cons i superfícies corbes
En un con recte, r, h i g formen un triangle rectangle; el desenvolupament lateral és un sector de radi g i angle 360°·r/g. Les fórmules A_lateral = πrg i V = (1/3)πr²h permeten calcular material i capacitat, mentre que l’esfera no es pot desplegar exactament sobre un pla sense deformació.
Capítol 4
Sentit espacial
3 unitats
-
Començar
Translacions: moure sense deformar
Una translació desplaça tots els punts amb el mateix vector i conserva la forma, la mida, les distàncies, els angles i l’orientació. Amb coordenades, s’aplica sumant components; les translacions successives es resolen sumant vectors i es desfan amb el vector oposat.
-
Començar
Girs i simetries amb els elements ben definits
Els girs es defineixen amb centre, angle i sentit; les simetries axials, amb un eix, i les centrals, amb un centre. Tots conserven forma i mida, però només la simetria axial inverteix l’orientació; les mediatrius i els punts mitjans permeten reconstruir i justificar els moviments.
-
Començar
Mosaics i transformacions que es combinen
Un recobriment del pla no deixa buits ni superposicions i exigeix comprovar angles, vores i continuïtat. Els mosaics es generen amb mòduls i composicions de moviments, es poden verificar digitalment i es comuniquen mitjançant dades, arguments i decisions visuals justificades.
Capítol 5
Sentit numèric
1 unitat
Capítol 6
Sentit algebraic
1 unitat
Capítol 7
Sentit estocàstic
7 unitats
-
Començar
Dades contínues i agrupació en intervals
Les variables discretes compten valors separats i les contínues mesuren magnituds amb valors intermedis. En agrupar mesures, cal definir intervals disjunts i exhaustius, calcular freqüències i marques, i explicar el detall que es perd.
-
Començar
Histogrames i distribucions que podem llegir
La unitat connecta dades agrupades, histogrames i polígons de freqüències. També desenvolupa una lectura crítica basada en intervals, àrees, forma, concentració i possibles valors extrems.
-
Començar
Quartils i diagrames de caixa
Els quartils divideixen una distribució ordenada en quatre parts i formen, amb el mínim i el màxim, el resum de cinc nombres. El diagrama de caixa permet comparar medianes i rangs interquartílics, però no revela la mitjana, totes les dades ni les freqüències concretes.
-
Començar
Variància, desviació típica i comparacions
La variància i la desviació típica quantifiquen la separació de les dades respecte de la mitjana; la segona conserva la unitat original. El coeficient de variació permet una comparació relativa només quan el zero de l’escala i la mitjana fan significativa la divisió.
-
Començar
Investigar amb dades i comunicar sense manipular
Investigar amb dades implica formular una pregunta operativa, seleccionar i descriure la mostra, documentar la depuració i relacionar els resultats amb el seu abast. Un informe reproduïble fa visibles mètode, càlculs, biaixos i limitacions, i comunica les dades amb escales i missatges honestos.
-
Començar
Dependència, compatibilitat i casos no equiprobables
La compatibilitat indica si dos esdeveniments poden coincidir; la dependència indica si conèixer-ne un modifica la probabilitat de l’altre. En casos no equiprobables cal justificar pesos o descompondre l’experiment, i en extraccions successives cal actualitzar explícitament la composició segons hi hagi reposició o no.
-
Començar
Simulacions per revisar intuïcions
Una simulació fiable conserva els resultats, les probabilitats i les dependències de l’experiment. Les freqüències contrasten prediccions sense convertir tendències en garanties, i una lectura racional de ratxes, coincidències i riscos considera la mida de la sèrie, les oportunitats i les conseqüències.
Capítol 8
Sentit socioemocional
1 unitat