Matemàtiques B
Aprofundirem en models algebraics, geometria, anàlisi i estadística, connectant contextos matemàtics, científics i socials. Índex per al curs 2026–2027, pendent de continguts.
Capítol 1
Sentit numèric
5 unitats
-
Començar
Els nombres reals i les seves representacions
Els nombres reals integren racionals i irracionals i poden representar-se exactament o mitjançant aproximacions justificades. Les construccions amb triangles connecten arrels, geometria i recta numèrica, mentre que els errors absolut i relatiu permeten valorar la qualitat de les aproximacions, incloses les de π.
-
Començar
Calcular amb reals i reconèixer els límits
La unitat desenvolupa una manera completa de calcular amb nombres reals: modelitzar, simplificar, comprovar el domini, escollir eines i interpretar el resultat. Les formes exactes preserven informació, mentre que les aproximacions s’han de justificar segons la precisió i les restriccions del context.
-
Començar
Combinatòria: comptar segons les condicions
La tria del mètode depèn de les condicions: alternatives o etapes, ús de tots els elements o només d’una part, importància de l’ordre i possibilitat de repetició. Justificar el recompte significa definir el resultat, evitar duplicats i, en probabilitat, mantenir un espai mostral equiprobable i coherent.
-
Començar
El triangle aritmètic i els seus patrons
El triangle aritmètic es construeix amb uns als extrems i sumes de parelles superiors. Les entrades compten seleccions, fet que justifica la recurrència, la simetria i patrons com les sumes 2ⁿ; la seva història mostra desenvolupaments en cultures i contextos diversos.
-
Començar
Interessos, taxes i canvis percentuals
Els canvis additius conserven una diferència fixa, mentre que els multiplicatius actuen mitjançant factors. L’interès simple manté la base i l’interès compost la capitalitza; per decidir entre propostes cal igualar terminis, incloure costos totals i declarar els supòsits.
Capítol 2
Sentit algebraic
9 unitats
-
Començar
Polinomis: formes, valors i arrels
Un polinomi es pot descriure pels termes, els coeficients i el grau, i es pot avaluar substituint la variable. Les formes equivalents destaquen informació diferent: la desenvolupada mostra coeficients, la factoritzada mostra arrels i el gràfic converteix aquestes arrels en punts de tall amb l’eix X.
-
Començar
Equacions: estratègia, domini i comprovació
La unitat presenta les equacions com a models i compara estratègies de primer i segon grau. Distingeix transformacions equivalents de passos que alteren candidats i culmina amb la comprovació algebraica i contextual de cada solució.
-
Començar
Sistemes: quantes solucions i què signifiquen?
Un sistema lineal relaciona dues condicions i les seves solucions són els punts comuns de dues rectes. Els càlculs, les gràfiques i el context permeten distingir una solució, cap o infinites, i decidir si cal acceptar el resultat, cercar informació o revisar dades.
-
Començar
Inequacions i intervals de solució
Una inequació descriu tots els valors que compleixen una condició. La resolució es basa en transformacions equivalents, amb canvi de sentit en multiplicar o dividir per un negatiu, i el resultat es pot comunicar com a desigualtat, interval i recta numèrica.
-
Començar
Regions del pla que compleixen una condició
Una inequació lineal amb dues incògnites selecciona un semiplà delimitat per una recta. Per representar-ne la solució cal dibuixar la frontera, justificar el costat escollit i decidir si la frontera s’inclou. En contextos reals, la regió final és la intersecció de totes les restriccions i pot quedar limitada als punts enters no negatius.
-
Començar
Funcions: què explica cada representació?
Cada representació d’una funció respon millor determinades preguntes: el context dona significat, la taula organitza dades, l’expressió facilita càlculs i el gràfic mostra el comportament global. Una anàlisi rigorosa relaciona domini, recorregut, variació, extrems, simetries i continuïtat, i limita les prediccions a l’interval justificat per les dades i els supòsits.
-
Començar
Creixement i decreixement exponencial
Una variació percentual constant es representa amb f(t) = a · bᵗ, on a és el valor inicial i b el factor per període. La base determina creixement o decreixement, però tota predicció exigeix justificar el domini, les unitats, els supòsits i els límits; comparar-la amb un model lineal revela mecanismes i evolucions diferents.
-
Començar
Models que canvien quan canviem una dada
La unitat presenta una investigació completa: variar paràmetres amb eines digitals, reconèixer quatre famílies, comparar ajustos mitjançant residus i formular prediccions limitades. Un bon model combina dades, mecanisme contextual, domini, transparència i revisió crítica.
-
Començar
Pensament computacional per investigar
La unitat transforma situacions en models amb entrades, restriccions i sortides, i els converteix en algorismes verificables. El treball culmina en comprovadors o simuladors provats amb casos normals i límit, depurats amb traces i documentats mitjançant un registre de millores.
Capítol 3
Sentit de la mesura
4 unitats
-
Començar
Angles, radians i precisió
La unitat construeix el radian a partir del quocient entre arc i radi, estableix la conversió amb els graus i aplica totes dues unitats a la mesura. També desenvolupa criteris per justificar la precisió i verificar el mode angular de la calculadora.
-
Començar
Triangles per deduir mesures
Els triangles rectangles converteixen situacions reals en models calculables. Pitàgores relaciona costats d’un mateix triangle, mentre que la semblança transfereix mesures entre triangles de la mateixa forma; en tots dos casos cal justificar el model, comprovar el resultat i declarar-ne la precisió i les limitacions.
-
Començar
Sinus, cosinus i tangent
La unitat construeix sinus, cosinus i tangent com a raons invariants de triangles rectangles semblants. També relaciona les raons, sistematitza la resolució de triangles i aplica la tangent a l’estimació justificada d’altures.
-
Començar
Trigonometria per mesurar allò inaccessible
La trigonometria permet convertir distàncies i angles accessibles en altures, amplades i distàncies inaccessibles. La validesa del resultat depèn de l’elecció del model, la precisió de les dades, les hipòtesis geomètriques i una comunicació que reconegui els límits.
Capítol 4
Sentit espacial
4 unitats
-
Començar
Vectors per descriure desplaçaments
Un vector queda determinat per les components, que codifiquen mòdul, direcció i sentit. Les operacions vectorials permeten combinar moviments i resoldre problemes geomètrics, tot distingint el trajecte recorregut del desplaçament resultant.
-
Començar
Diferents equacions per a una recta
Una recta es pot descriure amb formes vectorial, paramètrica, general i, si no és vertical, explícita. Triar la forma segons les dades facilita construir equacions, comparar direccions i resoldre interseccions amb una justificació clara.
-
Començar
Homotècies i transformacions del pla
Una homotècia de centre O i raó k situa cada imatge segons P' = O+k(P−O). Conserva forma, angles, alineació i paral·lelisme; multiplica longituds per |k| i àrees per k². Es diferencia d’una translació perquè té un centre fix i els desplaçaments depenen del punt.
-
Començar
Investiguem propietats en el pla i l’espai
Els models geomètrics permeten explorar propietats, formular conjectures i comparar dissenys, però no substitueixen una justificació. En recipients i estructures cal relacionar cada requisit amb la propietat adequada, controlar l’escala, verificar volum i superfície i explicitar els supòsits de la proposta.
Capítol 5
Sentit estocàstic
8 unitats
-
Començar
Comparar distribucions amb criteri
Per comparar distribucions cal estudiar conjuntament posició, dispersió, forma i valors extrems. Els resums i gràfics s’han de triar segons les dades, verificar amb criteri i comunicar amb unitats, convencions i limitacions explícites.
-
Començar
Dues variables i taules de contingència
La unitat presenta les dades aparellades, les taules de contingència i els percentatges segons diferents referents. També estableix criteris per seleccionar representacions coherents amb variables qualitatives, discretes o contínues i per comunicar conclusions sense confondre associació i causalitat.
-
Començar
Núvols de punts i correlació
Els núvols de punts representen dades aparellades i permeten descriure direcció, forma, intensitat i valors atípics. El coeficient r resumeix l’associació lineal, però cal mirar sempre el gràfic i separar associació de causalitat.
-
Començar
Regressió: ajustar una recta i limitar la predicció
La regressió lineal resumeix una tendència aproximadament rectilínia mitjançant ŷ = ax + b. La qualitat de l’ús depèn de valorar el núvol, interpretar els coeficients, examinar residus i valors atípics i limitar les prediccions al rang i al context sostinguts per les dades.
-
Començar
Un estudi estadístic que es pugui revisar
La unitat recorre tot el cicle d’un estudi estadístic: pregunta, variables, mostra, recollida, neteja, representació, conclusió i revisió. La transparència metodològica i una recomanació proporcional converteixen les dades en evidència que altres persones poden comprovar.
-
Començar
Esdeveniments: combinar sense confondre
La unitat desenvolupa el complement, la unió i la intersecció a partir d’espais mostrals ben definits. També diferencia incompatibilitat i independència, justifica l’ús de recompte, taules i arbres, i incorpora controls per detectar i explicar resultats impossibles.
-
Començar
Probabilitat condicionada: canviar la informació
La probabilitat condicionada restringeix el conjunt de referència al grup que compleix la condició. Taules i arbres permeten calcular-la, comprovar dependència i explicar per què els condicionaments inversos depenen de denominadors i proporcions inicials diferents.
-
Començar
Simulació, probabilitat geomètrica i decisions
La unitat connecta la construcció d’algorismes aleatoris, la interpretació de freqüències i la probabilitat geomètrica. També mostra que la validesa d’una conclusió depèn del mostreig i que una decisió responsable ha d’explicitar riscos, supòsits i limitacions.
Capítol 6
Sentit socioemocional
1 unitat