Matemàtiques I
1r · matèria obligatòria de Ciències i tecnologia
Capítol 1
Anàlisi
3 unitats
-
Començar
Expressions, equacions i restriccions
La unitat relaciona el domini amb les transformacions algebraiques i presenta mètodes per resoldre equacions, inequacions i sistemes. La comprovació en l’expressió inicial i en el context permet distingir les solucions vàlides dels candidats estranys o inadmissibles.
-
Començar
Nombres complexos: ampliar les solucions
Els nombres complexos amplien els reals mitjançant i² = −1 i s’expressen com a + bi. Permeten resoldre quadràtiques amb discriminant negatiu, representar-ne les arrels al pla i verificar-les algebraicament; la seva construcció és fruit d’un procés històric col·lectiu.
-
Començar
Patrons explícits i recurrents
La unitat presenta els patrons com a regularitats que poden expressar-se amb regles explícites o recurrents. També ensenya a generar i comparar termes amb eines digitals, depurar procediments i justificar equivalències sense confondre evidència finita, demostració i validesa contextual.
Capítol 2
Geometria
5 unitats
-
Començar
Trigonometria per resoldre triangles
La unitat connecta graus, radians i raons trigonomètriques amb la resolució de triangles rectangles i oblics. La selecció de la llei adequada, la comprovació de l’existència i l’anàlisi del cas ambigu permeten justificar problemes reals de triangulació.
-
Començar
Vectors i producte escalar al pla
Els vectors representen desplaçaments mitjançant components i es poden sumar o multiplicar per escalars. El producte escalar relaciona les components amb els angles, permet detectar perpendicularitat i dona eines per modelitzar posicions i trajectes.
-
Començar
Rectes, distàncies i posicions relatives
Una recta es pot representar amb punts, directors, normals i equacions equivalents. Les direccions determinen les posicions relatives, mentre que la perpendicularitat fonamenta les distàncies mínimes i permet resoldre problemes de trajectòries amb una elecció raonada del model.
-
Començar
Llocs geomètrics i corbes al pla
Els llocs geomètrics descriuen conjunts exactes mitjançant propietats de distància. Hem connectat aquestes propietats amb equacions de mediatrius, circumferències, paràboles, el·lipses i hipèrboles, i hem distingit l'exploració experimental de la justificació general.
-
Començar
Transformacions i matrius al pla
Una matriu 2 × 2 queda determinada per les imatges dels vectors bàsics i transforma figures vèrtex a vèrtex. Les composicions es representen multiplicant matrius en ordre invers al temporal, i l’ordre pot alterar el resultat. Les transformacions lineals fixen l’origen; una translació no nul·la és una transformació afí, no lineal.
Capítol 3
Anàlisi
11 unitats
-
Començar
Funcions: domini, operacions i representacions
La unitat connecta context, taula, expressió i gràfic, i mostra que tota interpretació depèn del domini. També desenvolupa les operacions, la composició, la inversa i els criteris per justificar les restriccions i els límits d’un model.
-
Començar
Funcions polinòmiques, racionals i irracionals
Les funcions polinòmiques tenen domini real; les racionals exclouen els zeros del denominador original, i les arrels parelles imposen condicions sobre el radicand. Una anàlisi rigorosa coordina domini, zeros, signe, representació i context, i comprova sempre les solucions obtingudes.
-
Començar
Exponencials i logaritmes
Els models exponencials descriuen factors multiplicatius constants, i els logaritmes permeten recuperar els exponents desconeguts. La resolució rigorosa combina propietats, domini, comprovació, interpretació contextual i contrast dels supòsits del model.
-
Començar
Funcions trigonomètriques i fenòmens periòdics
La circumferència unitat relaciona angles amb sinus, cosinus i tangent. Les gràfiques periòdiques i els seus paràmetres permeten modelitzar oscil·lacions, mentre que les equacions exigeixen usar simetries, periodicitat i un domini explícit.
-
Començar
Funcions a trossos i models amb canvis de regla
Les funcions a trossos associen cada interval amb una regla i representen les fronteres amb inclusions precises. Permeten modelitzar tarifes i moviments, sempre que es declarin el domini, les unitats i les quantitats acumulades i es comprovin els valors de frontera.
-
Començar
Triar i contrastar un model funcional
La unitat desenvolupa el cicle complet de modelització funcional: proposar famílies, estimar i interpretar paràmetres, analitzar residus, validar prediccions i revisar models. La decisió final compara models sobre les mateixes dades i en delimita l’interval d’ús.
-
Començar
Límits: què passa quan ens hi acostem?
La unitat presenta el límit com una tendència que es pot estimar amb taules i gràfics i contrastar algebraicament. Distingeix els límits laterals, el límit global i el valor puntual, i interpreta tant el creixement sense cota com el comportament de models a l’infinit.
-
Començar
Continuïtat i punts problemàtics
La continuïtat en un punt exigeix l’existència del valor, la igualtat dels límits laterals i la coincidència entre límit i valor. Aquest criteri permet classificar discontinuïtats, analitzar fronteres de funcions a trossos i determinar els valors o paràmetres que fan encaixar les regles.
-
Començar
De la variació mitjana a la derivada
La unitat parteix de la taxa mitjana i la pendent secant, transforma aquesta taxa en un quocient incremental i en construeix el límit. La derivada resultant descriu la pendent tangent i el ritme de canvi instantani, sempre interpretat amb el punt i les unitats corresponents.
-
Començar
La derivada com a eina per llegir el canvi
La derivada descriu la inclinació i el ritme de canvi instantani d’una funció. El seu signe determina creixement i decreixement, els canvis de signe classifiquen extrems locals i les unitats permeten interpretar-la en context.
-
Començar
Algorismes per calcular i comparar estratègies
La unitat transforma un problema matemàtic en una especificació digital i implementa dues estratègies d’aproximació. La comparació usa criteris comuns de precisió, claredat i recursos, i es completa amb casos límit, traces i depuració raonada.
Capítol 4
Probabilitat i estadística
5 unitats
-
Començar
Comptatge i combinatòria amb significat
La unitat construeix els recomptes a partir dels principis de suma i producte i distingeix ordre, repetició i selecció. Permutacions, variacions i combinacions es justifiquen com a patrons de recompte, i es comproven amb arbres, llistes o procediments digitals.
-
Començar
Probabilitat, freqüència i models d’atzar
La unitat distingeix la probabilitat teòrica de la freqüència observada, justifica la regla de Laplace mitjançant l’equiprobabilitat i desenvolupa simulacions reproduïbles. El càlcul, les dades i les hipòtesis s’han de presentar separadament per interpretar la variabilitat sense convertir l’atzar en certesa.
-
Començar
Distribucions conjuntes, marginals i condicionades
Una taula conjunta organitza observacions de dues variables i els marges resumeixen cadascuna per separat. Les condicionades canvien el denominador; comparar-les permet descriure dependència, sempre indicant referents i evitant conclusions causals injustificades.
-
Començar
Regressió lineal o quadràtica?
La unitat connecta la forma del núvol amb els ajustos lineal i quadràtic, i en compara la qualitat mitjançant residus, SQR i R². També delimita el significat de la correlació, estudia observacions influents i exigeix justificar les prediccions dins o fora del domini observat.
-
Començar
Una investigació amb dades científiques
La unitat recorre una investigació estadística completa: formular una pregunta, seleccionar i preparar dades, analitzar una o dues variables i comunicar conclusions. El producte final ha d’incloure dades anonimitzades, mètode, gràfics i una conclusió revisada després del debat.
Capítol 5
Sabers socioemocionals
1 unitat