Matemàtiques II
2n · opció de la matèria obligatòria de Ciències i tecnologia
Capítol 1
Anàlisi
8 unitats
-
Començar
Límits i continuïtat per estudiar models
La unitat connecta límits laterals, límits a l’infinit, asímptotes i continuïtat. Les tècniques algebraiques permeten justificar el comportament local i llunyà dels models, sempre respectant el domini i les condicions d’aplicació.
-
Començar
Derivabilitat i regles de derivació
La derivabilitat exigeix un quocient incremental amb límit finit i únic, implica continuïtat i determina la tangent. Les regles elementals, algebraiques i de la cadena permeten derivar expressions complexes; als punts de canvi de regla cal comparar continuïtat i derivades laterals, i les derivades successives descriuen canvis d’ordre superior.
-
Començar
Estudi i representació de funcions
L’estudi d’una funció combina domini, límits, asímptotes, derivades, punts notables i context. La representació final ha de ser compatible amb totes aquestes dades, i el contrast digital ha de verificar —no substituir— l’argumentació.
-
Començar
Optimització amb restriccions reals
Una optimització real combina modelització, derivades i justificació global. Cal definir l’objectiu i el domini, estudiar candidats interiors i frontera, demostrar l’existència quan sigui possible i interpretar la solució segons els supòsits.
-
Començar
Primitives i tècniques elementals d’integració
Una primitiva de f és una funció F tal que F′ = f, i totes les primitives en un interval són F + C. La linealitat, les primitives elementals, les transformacions algebraiques i la substitució immediata permeten calcular-les; derivar el resultat en verifica tant els factors com els signes i el domini.
-
Començar
Integral definida: acumulació i àrea amb signe
La integral definida és el límit de sumes de Riemann i mesura una acumulació amb signe. El teorema fonamental permet calcular-la amb primitives, mentre que l’àrea geomètrica requereix sumar en valor absolut les contribucions de cada tram.
-
Començar
Àrees sota corbes i entre funcions
Per calcular superfícies, primer es troben i s’ordenen les interseccions. Després es parteix l’interval als canvis de signe o d’ordre, s’integra una diferència no negativa en cada tram i es comprova el resultat amb una representació i una estimació.
-
Començar
Volums de revolució i models d’acumulació
Els volums de revolució s’obtenen acumulant àrees de discos o corones perpendiculars a l’eix. El model ha d’identificar radis, límits i unitats, i la seva validesa es valora comparant-lo amb aproximacions per seccions i fent explícits els supòsits.
Capítol 2
Geometria
9 unitats
-
Començar
Matrius per organitzar i modelitzar relacions
Les matrius organitzen dades segons files i columnes i permeten combinar etapes compatibles. Un model correcte justifica l’ordre del producte amb etiquetes i dimensions, conserva les unitats i comprova la plausibilitat del resultat.
-
Començar
Invertibilitat, determinants i rang
El determinant detecta la invertibilitat de les matrius quadrades, mentre que el rang mesura la informació independent de qualsevol matriu. L’eliminació connecta tots dos conceptes i permet decidir si una entrada es pot recuperar de manera única.
-
Començar
Sistemes lineals i models amb paràmetres
La unitat presenta la forma matricial, l’eliminació de Gauss i la classificació mitjançant rangs. Després aplica aquestes eines a sistemes paramètrics i a models on les restriccions contextuals poden descartar solucions algebraiques.
-
Començar
Vectors i coordenades a l’espai
La unitat presenta punts, vectors i coordenades a l’espai, desenvolupa les operacions i la dependència lineal, i connecta el producte escalar amb angles i projeccions. Finalment, integra aquests recursos en models de trajectòries tridimensionals, distingint direcció, intersecció i coincidència temporal.
-
Començar
Rectes i plans: escollir una representació
Rectes i plans es poden representar de formes equivalents, cadascuna útil per a una tasca diferent. La construcció rigorosa identifica punts, direccions i normals, comprova que les dades no degeneren i valida la pertinença dels punts coneguts.
-
Començar
Posicions relatives a l’espai
La posició relativa de rectes i plans s’estudia comparant vectors directors i normals i resolent els sistemes que expressen punts comuns. La compatibilitat, els rangs i el nombre de paràmetres lliures permeten distingir interseccions buides, punts, rectes i objectes coincidents.
-
Començar
Angles i distàncies en tres dimensions
El producte escalar relaciona vectors i angles, mentre que les projeccions aïllen components perpendiculars. Per calcular distàncies a l’espai cal classificar els objectes, escollir directors o normals, mantenir unitats coherents i verificar la perpendicularitat del segment mínim.
-
Començar
Àrees i volums amb vectors
El producte vectorial relaciona coordenades, perpendicularitat, orientació i àrea. El producte mixt amplia aquesta idea al volum, permet detectar coplanaritat i, amb els factors 1/2 i 1/6, mesurar triangles i tetraedres.
-
Començar
Una recerca geomètrica a l’espai
La unitat guia una recerca geomètrica completa: construir un model tridimensional, explorar-lo, formular una conjectura i justificar-la deductivament. També ensenya a combinar i valorar recursos algebraics, geomètrics i digitals, tot explicitant hipòtesis i límits.
Capítol 3
Probabilitat i estadística
5 unitats
-
Començar
Interpretar la probabilitat i la incertesa
La probabilitat es pot interpretar mitjançant casos equiprobables, freqüències repetides o credibilitats justificades. Una argumentació rigorosa separa dades, model i judici, conserva la incertesa i explica com les noves dades podrien revisar l’estimació.
-
Començar
Experiments compostos i actualització amb Bayes
La unitat connecta probabilitat condicionada, independència, arbres, probabilitat total i teorema de Bayes. Aquestes eines permeten actualitzar probabilitats en classificacions i explicar per què les proporcions inicials i l’ordre del condicionament són determinants.
-
Començar
Variables aleatòries i distribucions
La unitat distingeix variables discretes i contínues i connecta probabilitat puntual, densitat i acumulació. També interpreta esperança, variància i desviació estàndard per comparar models i probabilitats d’intervals.
-
Començar
El model binomial
El model binomial compta èxits en n assaigs independents, dicotòmics i amb probabilitat p constant. Les probabilitats puntuals i acumulades, juntament amb l’esperança i la dispersió, permeten respondre preguntes de context sempre que se’n justifiquin i revisin les hipòtesis.
-
Començar
El model normal i les aproximacions
La distribució normal queda determinada per μ i σ, i la tipificació permet calcular-ne probabilitats i quantils amb la normal estàndard. En aproximar una binomial, cal justificar les condicions, aplicar la correcció de continuïtat i comunicar l’error respecte del càlcul exacte.
Capítol 4
Anàlisi
1 unitat
Capítol 5
Sabers socioemocionals
1 unitat